水道に直接雨水をつなぐのは非常に危険です。
水道の圧力の状態により、サイホン現象を起こして雨水を引き込んじゃうことがあります。

水道法に従って、各水道事業者（つまり水道局ですね）は給水開始前に検査をするときに水道水が他の水と混ざる危険がないか とても慎重に検査します。

現在ＨＰに載っている図面のような状態になっているのがわかれば、即給水停止です。
（というわけでこのつなぎ方は止めました）

これは、サイホン現象で飲料用でない水が引き込まれた場合、他の家にまで水が流れる危険があるからです。

それから、分岐栓のパッキン（正確にはコマと言います）が
逆流防止になっているのも同じ理由からですので布なんかをまいて
逆流するのを止めるのも非常に問題があります。
布の部分に細菌が繁殖する可能性が高いんです。
（浄水器なんかもメーカー指定の交換期間を過ぎて使っていると 細菌の巣です）

で、自動的に給水したければトイレの給水タンクは左右両方に
給水が出来るように穴が開けてありますので、水道とは逆の側に
もう一つボールタップ（自動給水装置）を付ける手もありますが
かなり難しいと思います。
まず、タンクの大きさの関係でボールタップの長さを改造しなければなりません。
次にボールタップを動かすにはメーカは0.5kgの圧力が必要だと言っています。
現在ボールタップが動いているので動くとは思うんですが
時間が経つとボールタップが痛んできて動かなくなる可能性があります。

御家族の健康に関わる問題ですので、この辺はお近くの
水道屋さんに御相談なさることをおすすめします。
その際は、金物屋さん等材料を置いてあるだけのところではなく。
水道事業者に認可を受けた水道工事店に相談なさって下さい。